方向1：偏微分方程
偏微分方程是近代数学的重要分支之一， 和数学中的其它许多分支以及工程技术有着重要的相互作用。 本研究方向主要讨论偏微分方程理论本身和其它学科中出现的重要的非线性方程解的存在性， 解集合的结构， 解的几何性态以其对应的发展方程的动力行为等。已取得的具体代表性科研成果有：
1. 运用新的方法，成功地解决了在一般区域上当非线性项满足一定条件时，方程正解的唯一性这一非常困难的问题，同时对非线性项满足其它条件时方程的多解性也进行了比较详细的讨论，发表在 Differential Integral Equations 上的论文“Boundary value problems of a class of quasilinear …”已被引用40次，包括Kyritsi、Manásevich、Aizicovici等学者在SCI 二区期刊上的引用。
2. 详细刻画了具有稳定性的解的存在与不存在性、解的奇点集合的结构与性质、解的确切重数。估计了一类拟线性反应扩散方程组的爆破界，论文“Boundary blow-up solutions and their applications in …”已被引用49次，被Webb、Zhang zhijun、Li huiling等学者在SCI 二区期刊上多次引用。
3. 研究了理论生物学中含有多参数的半线性椭圆型方程组在参数趋于无穷时解的存在性、唯一性及稳定性，成功地找到了相应的极限方程，得到了原方程组解的稳定性与极限方程变号解的稳定性之间的关系，并证明了极限方程在凸区域上具有Dirichlet边界条件的稳定变号解的存在性。
4. 对超临界和负指数二阶和高阶非线性方程解的存在性及解集合的结构所做的一系列研究发表在美国数学会的 Proceeding和 Transaction 等重要刊物上。
5. 对描写物种入侵的自由边值问题解的动力行为所做的研究形成了多篇论文发表在J. Differential Equations上。
我们的研究成果已被240多位学者引用690余次。目前我们正在对超临界高阶方程和方程组的解的结构问题和物种入侵问题做深入研究，近期应有重要的结果发表。主持国家自然科学基金3项，河南省杰出人才基金项目1项。
方向2：非线性分析与量子群
物理问题与规律通常出现奇点，对奇点性质的研究在现代量子场论各个领域，如重整化、圈图积分、物理过程的高精度计算、量子完全可积模型的对称性研究等都有重要应用。因此，非线性分析与量子群研究是一个十分重要的研究方向。本研究方向主要研究具有物理背景的对象的性质，其主要研究内容、特色优势、已取得代表性科研成果如下：
1. 稳态Hartree方程正解的分类问题。此问题是Princeton大学Lieb教授提出的长期未解决的问题（有30年历史），由于问题是非局部的，因此研究这个问题变得非常困难。关键的方法是利用Riesz变换把研究对象变为了一个可积系统，利用新的移动平面法，通过径向对称性推导出Lieb教授的唯一性结论。进一步丰富了Hartree-Fock理论。
2. 建立新的代数结构。重点建立扭曲Smash积(余积)等构造, 并发展Radford双积理论,同时建立这些Hopf代数的拟三角和辫子结构定理,提出了具体构造多种类型Hopf代数上拟三角(辫子)结构的一般方法;给出了广义Drinfeld偶的拟三角结构定理及其初等变换计算方法, 从而丰富和完善了交叉积Hopf代数的拟三角(辫子)结构理论；构造新的非交换非余交换Hopf代数和拟三角（辫子）Hopf代数，得到更多的量子Yang-Baxter方程的解。进一步充实和发展了Hopf代数的结构理论。
3. Quasi-Einstein流形的分类。主要方法是利用黎曼流形的完备性质，巧妙使用广义极大值原理，借用偏微分方程的一些理论研究了此类问题的分类。主要思路是建立Weyl张量与一个3阶协变张量之间的关系，通过研究其水平曲面，利用水平的曲面的良好几何性质来研究此类问题的分类。另外，对于研究了一类稳定算子的特征值，并期望通过研究此类算子，找到稳定算子对黎曼流形的几何刻画。因此，这方面的研究将进一步建立完善Ricci Flow的研究。
本研究方向在Arch Rat. Mech. Anal.， Adv. Math., Calc.Var. PDE, Math. Nachr., J Algebra等重要SCI源期刊上发表论文34篇。主持国家自然科学基金3项。
方向3：离散数学与理论计算机科学
离散数学与理论计算机科学是应用数学的重要研究方向之一。本方向注重应用理论研究，跟踪国际前沿，经过多年的努力，已经形成自己的特色：
1、网络参数。多处理机系统的互连网络通常以图为数学模型，因此网络拓扑的性能可以通过图的性质和参数来度量。限制边连通度作为边连通度的推广，是度量互连网络可靠性(容错性)的一个有效参数；而直径和条件直径是度量互连网络传输延迟性的重要参数。我们研究了直径或条件直径较小的网络的限制边连通度，给出直径受围长约束时，图是极大限制边连通和超级限制边连通的一些充分条件。为了更精确的度量网络可靠性，我们提出超级k限制边连通性的概念，并给出直径为2的图是超级k限制边连通的邻域条件。我们将极大限制边连通图推广到有向图，提出极大限制弧连通图的概念，并给出极大限制弧连通图的一些邻域条件。我们也研究了一些结构性质较好的网络的可靠性。确定所有无向Kautz图的限制边连通度,全面解决了无向Kautz图的极大限制边连通性和超级限制边连通性。引进包含迭代循环图和立方体图等著名网络拓扑的两个图类，并计算了这两类图的k限制边连通度。在国家自然科学基金和省自然科学基金的资助下，在国内外学术刊物上发表了一系列论文，其中SCI收录的30多篇，部分研究成果发表在下面的国际权威期刊上。Info. Sci., Theor. Comp. Sci., Networks, Disc. Math., Disc. Appl. Math., J. Graph Theor.。另外，我们还出版专著2部。我们的这些研究为可靠网络的设计和分析奠定了理论基础，已经引起了国际国内同行的关注。
2、DNA计算。DNA计算机是国际上“热”的研究课题之一，它与图论有密切的关系。在这方面,我们建立了图的着色问题和匹配问题的DNA计算模型；优化了求整数规划和矩阵乘法的DNA计算模型等。提出了DNA标号图的概念，使之既能利于识别DNA序列又能利于DNA计算。证明了一个有向图是DNA标号图当且仅当它是有向线图；同时给出了一个等价关系和求哪个等价类的有效算法。在这方面的研究成果发表在下面的国际权威期刊上。J. Math. Chem., J. Chem. Info. Comp. Sci., Match-Comm. Math. Comp. Chem., Sci. China, Ser A: Math. DNA计算机有望成为人类科学史上的一个新的里程碑，给整个世界带来巨大的变化。我们的研究结果为未来的DNA计算机建立了一些数学模型和设计了相应的DNA算法，其中涉及的研究方法为图与DNA计算的联系开辟了新的道路。
方向4：微分几何
微分几何是当今数学的重要分支之一，与其它主流学科如理论物理等有密不可分的联系。本研究方向以代数和分析作为手段，研究微分几何中具有特殊性质的几何对象, 重点讨论其分类问题。本方向的主要研究内容、特色优势、已取得代表性科研成果如下：
1. 球面中子流形的Moebius几何研究。重点对n维超曲面的Moebius不变量, 以代数或分析为主要手段，证明了多个特色鲜明的分类定理。比如：对实空间形式中高余维且有常数量曲率和平行平均曲率向量的子流形的Moebius刻画；对球面中具有平行Blaschke张量的超曲面的完全分类, 并首次发现了两类十分重要的新例子；对球面中的n维Blaschke等参超曲面, 目前已经完成了对n≤5的情形或具有三个不同Blaschke特征值情形下的完全分类；此外我们还有对球面中具有平行的Blaschke张量的超曲面的分类。进一步充实和发展了子流形的Moebius几何理论。
2. “数学物理中特殊几何”的研究。研究了一些齐次纤维丛上的一种特殊G-结构，计算了相应内蕴挠率的具体表达式，这是进一步研究其调和性的必要基础；对某些特殊的G2结构在超曲面上的诱导SU(3)-结构进行了深入的探讨, 得到了该诱导SU(3)-结构的内蕴挠率的不可约显式分解表达式，为进一步利用计算机研究此类SU(3)-结构提供了新的思路和途径。
3. 超曲面的仿射微分几何研究。目前的主要关注点是仿射Bernstein问题的研究和对于具有平行Fubini-Pick形式的超曲面分类研究。我们通过黎曼对称空间的对偶对应，巧妙地把所关心的超曲面的分类问题化为复射影空间中的平行极小全实子流形的分类问题，大大地简化了相关的论证。同时，这方面的研究第一次建立了仿射几何与全实子流形理论之间的内在联系。
4. 黎曼流形上的特征值研究。研究了黎曼流形上具有物理意义的Laplacian算子的特征值万有估计，即所得到的结果不依赖于区域的大小和形状。对于Clamped Plate特征值，考虑了其万有估计及在哪些流形上达到最优；对于Buckling特征值，一方面考虑其万有估计和最优性，另一方面通过构造新的实验函数，考虑了其前两个特征值的最佳比率。
本研究方向在 Calc. Var. PDE, Internat. J. Math., Math. Nachr. Manuscript math. Differential Geom. Appl.，J. Math. Anal. Appl.等重要SCI源期刊上发表论文14篇。主持国家自然科学基金5项。
方向5：最优化理论
大量的科学、经济与工程计算问题均归化为求最优化问题（P）的最优解，但问题（P）存在多个非全局最优的局部解，这使得对其研究极具挑战性。因此，研究问题（P）的有效求解方法具有重要的科学意义和应用前景。本方向的主要研究内容、特色优势、已取得代表性科研成果如下：
1. 对广义几何规划（GGP）问题：根据问题的特点，提出了求（GGP）问题的鲁棒解算法；利用Lagrangian对偶理论和区间Newton法及有关的线性松弛等措施，提出了相应的线性松弛化方法，这些研究成果被SCI期刊论文引用20次（不含自己引用次数）。
2. 对几类比式和分式规划问题：针对广义线性比式和、二次函数比式和、凸函数比式和、广义多项式比式和等几类具有广泛应用价值的分数规划问题，根据不同问题的结构特点，通过引入变量及某些合适的转化技巧，利用对偶理论等方法，构造出相应的线性松弛规划问题，通过求解一系列线性规划问题最终获得原问题的全局最优解，提出一系列新的有效算法。
3. 对加速方法的研究: 为了改进全局优化问题分支定界方法的计算花费, 提高算法的计算效率, 研究了针对广义几何规划、一类非凸规划等问题的分支定界方法的加速原则，提出了有关的区域删除判断准则，该准则能删除问题可行域中不含最优解的区域，从而缩小了算法的求解范围，达到了算法加速的目的。
4. 利用优化思想和并行计算工具，建立了模拟大气重力波非线性传播的并行数值模式，研究了大气重力波在在各种大气温度背景和风场背景中的传播情况，及其对大气背景的影响，揭示了低层大气重力波与中间层和低热层高度上小尺度波动之间的直接耦合关系。
本研究方向在 J. Glob. Optim., J. Geophys. Res., Math. Meth. Opera. Rese., J. Comput. Appl. Math., Ann. Geophys., Comput. Math. Appl., Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Appl., Math. Comput. Modelling等重要SCI源期刊上发表论文21篇。主持国家自然科学基金3项，河南省高校科技创新人才支持计划1项，河南省科技创新杰出青年基金1项。
